КР по «Цифровой среде бизнеса» (Л.В. Лапидус) — по лекциям:
До 10:00 — сдать этап III проекта «Цифровая среда компании: угрозы и возможности» (презентация в PDF, загружает капитан).
Теория по лекциям Ледовских и семинарам, задачи по нарастающей сложности с подсказками и решениями, генератор похожих задач, теоретические вопросы из описания КР, карточки и контрольный вариант на 120 минут. Ответ можно вводить выражением: 3/2, e^3, sqrt(2)-3, ln(2), inf.
Демоверсия. В понедельник тренажёр дополним: больше задач на каждую тему, разборы с семинаров, видеоуроки и полное исследование функций с построением графика по шагам. Нашли ошибку — кнопка «Нашли ошибку?» под задачей.
Число \(a\) — предел последовательности \(x_n\), если для любого \(\varepsilon > 0\) найдётся номер \(N\), начиная с которого \(|x_n - a| < \varepsilon\). Последовательность, у которой предел \(0\), — бесконечно малая; у которой \(|x_n| \to \infty\) — бесконечно большая.
Иерархия роста при \(n \to \infty\): \(\ln n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n\).
\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A\), если для любой окрестности \(U(A)\) найдётся проколотая окрестность \(\mathring U(x_0)\), что \(f(\mathring U(x_0)) \subset U(A)\). На языке \(\varepsilon\)–\(\delta\): \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon\).
Эквивалентные функции при \(x \to x_0\): \(f \sim g\), если \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1\). В произведении и частном их можно заменять друг на друга, в сумме — нельзя.
| при \(x \to 0\) | |
|---|---|
| \(\sin x \sim \operatorname{tg} x \sim \arcsin x \sim \operatorname{arctg} x \sim x\) | первый замечательный: \(\frac{\sin x}{x}\to1\) |
| \(1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\) | |
| \(e^x - 1 \sim x,\quad a^x - 1 \sim x\ln a\) | |
| \(\ln(1+x) \sim x\) | |
| \((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\) | отсюда \(\sqrt{1+x}-1 \sim \frac x2\) |
\(f\) непрерывна в точке \(x_0\), если она определена в окрестности \(x_0\) и \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\) (то есть оба односторонних предела существуют, конечны и равны значению).
| Тип точки разрыва | Признак | Пример |
|---|---|---|
| Устранимый разрыв 1 рода | \(f(x_0-0) = f(x_0+0)\) конечны, но \(\ne f(x_0)\) или \(f(x_0)\) не определено | \(\frac{x^2-4}{x-2}\) в \(x=2\) |
| Неустранимый разрыв 1 рода (скачок) | оба односторонних предела конечны, но различны | \(\frac{|x|}{x}\) в \(x=0\) |
| Разрыв 2 рода | хотя бы один односторонний предел бесконечен или не существует | \(\frac1x\) в \(0\), \(\sin\frac1x\) в \(0\) |
Производная функции в точке \(x_0\): \(f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) (если предел существует и конечен). Геометрически — угловой коэффициент касательной: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).
| Функция | Производная | Функция | Производная |
|---|---|---|---|
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(a^x\) | \(a^x \ln a\) | \(\operatorname{tg} x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac1x\) | \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt x}\) | \(\operatorname{arctg} x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) |
На КР обязательно будет одна задача на полное исследование с графиком. Рисуй асимптоты пунктиром, отмечай экстремумы и перегибы с координатами.
В описании КР перечислены ровно эти определения и теоремы. Учить формулировки дословно — ниже тесты на их понимание, а в «Карточках» — все формулировки.
| Понятие | Формулировка |
|---|---|
| Эквивалентные функции | \(f \sim g\) при \(x\to x_0\), если \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\). |
| Непрерывная функция | \(f\) непрерывна в \(x_0\), если определена в окрестности \(x_0\) и \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\); непрерывна на множестве — если непрерывна в каждой его точке. |
| Устранимый разрыв 1 рода | односторонние пределы конечны и равны между собой, но не равны \(f(x_0)\) (или \(f\) в \(x_0\) не определена). |
| Неустранимый разрыв 1 рода | односторонние пределы конечны, но не равны друг другу. |
| Разрыв 2 рода | хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует. |
| Производная в точке | \(f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\), если предел существует и конечен. |
| Локальный максимум (минимум) | \(\exists\,U(x_0)\): \(\forall x \in U(x_0)\ f(x)\le f(x_0)\) (\(\ge\) для минимума). |
| Предел и б.м. | \(\lim x_n = a \iff x_n - a\) — бесконечно малая. |
| Сумма б.м. | сумма конечного числа б.м. функций (при \(x\to x_0\)) — б.м. функция. |
| Локальная ограниченность | функция, имеющая конечный предел при \(x \to x_0\), ограничена в некоторой проколотой окрестности \(x_0\). |
| Необходимое условие экстремума | если \(f\) дифференцируема в точке локального экстремума \(x_0\), то \(f'(x_0) = 0\). |
| Достаточное условие 2 порядка | если \(f'(x_0)=0\) и \(f''(x_0)\ne0\): при \(f''(x_0)<0\) — максимум, при \(f''(x_0)>0\) — минимум. |
Читай вопрос, вспоминай ответ вслух, переворачивай. «Знаю» убирает карточку из колоды, «Повторить» — в конец. Стрелки ← → и пробел тоже работают.
На КР из справочного — только схема исследования функции. Всё остальное нужно помнить: перепиши эту страницу от руки пару раз.