Математика для менеджеров, демоварианты, Самостоятельная 2026
Демовариант СР1 по пределам
7 задач на 20 минут, как в описании СР, — с решениями.
Работу загрузили студенты. Если к заданиям приложены решения, они авторские: в них могут быть ошибки, и мы их не проверяем. Сверяйтесь с лекциями и методичкой, а ошибку можно отметить.
Неофициальный вариант. Составлен по «Описанию самостоятельной работы 1» (ЭФ МГУ, ММАЭ, 12–16 октября 2026): 20 минут, максимум 20 баллов, 6–7 задач, теория плюс вычисление пределов. Настоящие задания будут другими, но того же типа. Засеките 20 минут.
1. (2 балла) Дайте определение предела последовательности на языке неравенств. Приведите пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.
2. (2 балла) Какие функции называются эквивалентными при $x \to x_0$? Приведите пример двух функций, эквивалентных при $x \to 0$.
3. (3 балла) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3 - 5n + 1}{4n^3 + n^2}$
4. (3 балла) $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 1}$
5. (3 балла) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$
6. (3 балла) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos 2x}{x \sin 3x}$
7. (4 балла) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x + 1}{2x - 3}\right)^{x}$
Ответы и решения
1. $\lim a_n = a \iff \forall\varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N:\ |a_n - a| < \varepsilon$. Пример: $a_n = (-1)^n$ — ограничена ($|a_n| \le 1$), но предела нет, члены прыгают между $-1$ и $1$.
2. $f \sim g$ при $x\to x_0$, если $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$. Пример: $\sin x \sim x$ или $\ln(1+x) \sim x$ при $x \to 0$.
3. Степени равны: $\dfrac24 = \dfrac12$.
4. $\frac00$: $\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{x+2}{x-1} \to \dfrac{1}{-2} = -\dfrac12$.
5. Домножаем на $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$: $\dfrac{2x}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)} \to \dfrac22 = 1$.
6. $1 - \cos 2x \sim \dfrac{(2x)^2}{2} = 2x^2$, $\sin 3x \sim 3x$: $\dfrac{2x^2}{3x^2} = \dfrac23$.
7. $1^\infty$: $u - 1 = \dfrac{4}{2x - 3}$, $v(u-1) = \dfrac{4x}{2x - 3} \to 2$. Ответ $e^2$.