Пределы: 8 задач с разбором

От главного слагаемого до второго замечательного предела.

Восемь задач по возрастанию сложности. Сначала попробуйте сами, потом откройте решение.

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{5n^3 - 2n + 7}{1 - 3n^3}$

Решение

Степени равны (3 и 3) — отношение старших коэффициентов: $\dfrac{5}{-3} = -\dfrac53$.

2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2 + 4}{2n^3 - n}$

Решение

Степень знаменателя больше — предел равен $0$.

3. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$

Решение

Подстановка даёт $\frac00$. Раскладываем: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.

$$\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x+3} = \frac45.$$

4. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$

Решение

Домножаем на сопряжённое $\sqrt{x+3} + 2$:

$$\frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} \to \frac14.$$

5. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 2n}\right)$

Решение

$$\frac{(n^2 + 6n) - (n^2 - 2n)}{\sqrt{n^2+6n} + \sqrt{n^2 - 2n}} = \frac{8n}{\sqrt{n^2+6n} + \sqrt{n^2-2n}} \to \frac{8}{1 + 1} = 4.$$

6. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 7x}{\operatorname{tg} 2x}$

Решение

$\sin 7x \sim 7x$, $\operatorname{tg}2x \sim 2x$: предел $\dfrac{7x}{2x} = \dfrac72$.

7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x} - 1}{\ln(1 + 2x)}$

Решение

$e^{4x} - 1 \sim 4x$, $\ln(1 + 2x)\sim 2x$: ответ $2$.

8. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{2x}$

Решение

Основание стремится к 1, показатель — к бесконечности: $1^\infty$.

$$u - 1 = \frac{x - 1}{x + 3} - 1 = \frac{-4}{x + 3}, \qquad v(u - 1) = \frac{-8x}{x + 3} \to -8.$$

Ответ: $e^{-8}$.