Лекция 7. Исследование функции

Конспект лекции 7 (Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026. Полное решение примера — наше.

Монотонность

• Строго возрастает на $A$: $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$; неубывает: $f(x_2) \ge f(x_1)$. Аналогично убывание.
• Достаточное условие: $f' > 0$ — возрастает, $f' < 0$ — убывает.
• Точки экстремума включаем в промежутки монотонности, а сами промежутки пишем по отдельности, без $\cup$.

Экстремумы

• $x_0$ — строгий локальный максимум, если рядом $f(x) < f(x_0)$; минимум — если $f(x) > f(x_0)$.
• Необходимое условие: $f'(x_0) = 0$ (или производной нет).
• Достаточное, 1 порядок: $f'$ меняет знак с $+$ на $-$ — максимум, с $-$ на $+$ — минимум.
• Достаточное, 2 порядок: $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$ — минимум, $f''(x_0) < 0$ — максимум.

Выпуклость и перегиб

• $f'' < 0$ — выпукла вверх (график не выше касательных), $f'' > 0$ — выпукла вниз.
• Точка перегиба — точка графика, где выпуклость меняется.

Схема полного исследования

1. Общие сведения: $D(y)$; пересечения с осями; чётность, нечётность, периодичность; точки разрыва.
2. $f'$: интервалы монотонности и экстремумы.
3. $f''$: выпуклость и точки перегиба.
4. Асимптоты: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
5. График по всем найденным точкам.

Пример с лекции: $y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 3}$

Полное исследование

1. $D = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Нули: $(x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1, -2$; $y(0) = \frac23$. Ни чётная, ни нечётная.
2. Выделим целую часть: $y = x + \frac{2}{x + 3}$. При $x \to -3 \pm 0$: $y \to \pm\infty$ — разрыв 2 рода, $x = -3$ — вертикальная асимптота.
3. $y' = 1 - \frac{2}{(x + 3)^2} = 0 \Rightarrow x = -3 \pm \sqrt2$. Возрастает на $(-\infty; -3 - \sqrt2]$ и на $[-3 + \sqrt2; +\infty)$, убывает на $[-3 - \sqrt2; -3)$ и на $(-3; -3 + \sqrt2]$. Максимум $x = -3 - \sqrt2$, $y = -3 - 2\sqrt2 \approx -5{,}83$; минимум $x = -3 + \sqrt2$, $y = -3 + 2\sqrt2 \approx -0{,}17$.
4. $y'' = \frac{4}{(x + 3)^3}$: при $x > -3$ выпукла вниз, при $x < -3$ — вверх. Перегибов нет: $x = -3$ не входит в $D$.
5. Наклонная асимптота $y = x$ (так как $\frac{2}{x + 3} \to 0$), горизонтальных нет.

Прикладная задача: функция дожития

$S(x) = \frac{90 - x}{90 + x}$ на $[0; 100]$ — вероятность дожить до возраста $x$.

• Знаменатель обнуляется при $x = -90$, вне промежутка. Нуль $x = 90$; при $x > 90$ значения отрицательны, поэтому по смыслу модель работает на $[0; 90]$.
• $S'(x) = \frac{-180}{(90 + x)^2} < 0$ — строго убывает: чем старше, тем меньше шанс.
• Вероятность для 30-летнего дожить до 60: $\frac{S(60)}{S(30)} = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.