Лекция 6. Производная

Конспект лекции 6 (Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026.

Смысл производной

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

• Геометрический: $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha = k$ — угловой коэффициент касательной в точке $x_0$. Касательная: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
• Механический: $s'(t) = v(t)$ — мгновенная скорость. Шире — скорость изменения любого процесса.
• В экономике: производная издержек — предельные издержки, производная выручки — предельная выручка.

Дифференцируема ⇒ непрерывна. Обратное неверно: у $|x|$ в нуле излом, производной нет.

Правила

1. $C' = 0$
2. $(Cu)' = Cu'$
3. $(u \pm v)' = u' \pm v'$
4. $(uv)' = u'v + uv'$
5. $\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
6. Сложная функция: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g) \cdot g'(x)$. Пример: $\big((x^3 + 2)^5\big)' = 5(x^3 + 2)^4 \cdot 3x^2$.

Также берут производные неявных функций ($y^2 + 10x - 4 = 0$) и обратных: $f'(x) = \frac{1}{\varphi'(y)}$.

Таблица

$f$	$f'$	$f$	$f'$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\sin x$	$\cos x$
$a^x$	$a^x \ln a$	$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$	$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$\ln x$	$\frac1x$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$\operatorname{arctg} x$	$\frac{1}{1 + x^2}$

Дифференциал

$\Delta y = f'(x)\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x$, где $\alpha \to 0$. Линейная часть — дифференциал: $dy = f'(x)\,dx$, $dx = \Delta x$. Для малых изменений (до 5–10%) $\Delta y \approx dy$.

$y = x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0{,}1$: $\Delta y = 1{,}21 - 1 = 0{,}21$, $dy = 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2$.

Правило Лопиталя

Для неопределённостей $\frac00$ и $\frac\infty\infty$: $\lim \frac{f}{\varphi} = \lim \frac{f'}{\varphi'}$, если правый предел существует.

Неопределённость	Что делать
$\frac00$	сократить, сопряжённое, эквивалентности или Лопиталь
$\frac\infty\infty$	разделить на старшую степень или Лопиталь
$0 \cdot \infty$	привести к $\frac00$ или $\frac\infty\infty$
$1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$	прологарифмировать, найти предел логарифма $A$, ответ $e^A$
$\infty - \infty$	сопряжённое или общий знаменатель

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim \frac{e^x - 1}{2x} = \lim \frac{e^x}{2} = \frac12$.

Монотонность и экстремумы

• $f' > 0$ на интервале — функция возрастает, $f' < 0$ — убывает.
• Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция имеет экстремум в $x_0$, то $f'(x_0) = 0$. Обратное неверно: у $x^3$ в нуле $f' = 0$, но экстремума нет. Экстремум может быть и там, где производной нет ($|x|$ в нуле).

Примеры

Найдите $f'$: $f = x^2 \ln x$; $g = \frac{\sin x}{x}$; $h = \ln(e^{-x} + 6)$

$f' = 2x \ln x + x$. $g' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$. $h' = \frac{-e^{-x}}{e^{-x} + 6}$.