Лекция 5. Непрерывность, разрывы, асимптоты

Конспект лекции 5 и семинара 5 (Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026. Решения задач семинара — наши, сверяйтесь с разбором на семинаре.

Непрерывность

$f$ непрерывна в точке $x_0$, если она определена в $x_0$ и $$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in U_\delta(x_0) \cap D(f):\ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.$$

Если в $D(f)$ входит окрестность $x_0$, то $f \in C(x_0) \iff \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Графически — линия без разрыва.

Элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Точки разрыва

Исследуем только точки, у которых в $D(f)$ входит хотя бы проколотая окрестность.

Тип	Условие	Пример
Устранимый 1 рода	$f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$, конечные	$\frac{\sin x}{x}$ в нуле
Неустранимый 1 рода (скачок)	оба односторонних предела конечны, но не равны	$\operatorname{sgn} x$ в нуле
2 рода	хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен	$\frac1x$ и $\sin\frac1x$ в нуле

Устранимый разрыв убирают доопределением по непрерывности: в точку ставят значение предела.

Пример с лекции. $f = \frac{\sqrt{x - 2} - 2}{x - 6}$, $D = [2; 6) \cup (6; +\infty)$. Домножаем на сопряжённое: $\frac{x - 6}{(x - 6)(\sqrt{x - 2} + 2)} \to \frac14$ с обеих сторон. Устранимый разрыв, $f(6) := \frac14$.

Схема исследования: $D(f)$ → где непрерывна → какие точки изучать → односторонние пределы → вывод о типе → при необходимости доопределить.

Асимптоты

• Вертикальная $x = x_0$: хотя бы один односторонний предел равен $\pm\infty$.
• Горизонтальная $y = y_0$: $\lim\limits_{x \to +\infty} f = y_0$ или $\lim\limits_{x \to -\infty} f = y_0$.
• Наклонная $y = kx + b$: $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$, $b = \lim\limits_{x \to \infty}(f(x) - kx)$. Горизонтальная — частный случай с $k = 0$.

Для дробно-рациональной функции наклонную асимптоту быстрее найти делением многочленов: целая часть и есть $kx + b$.

Задача с семинара: тарифы «ГрузоВоза»

Тариф за тонну: 5000 руб. до 10 т, 4200 — до 50 т, 3500 — до 100 т, 3000 — свыше. Стоимость $C(x) = x \cdot T(x)$.

В точках 10, 50, 100 односторонние пределы конечны, но различны: скачки вниз на 8 000, 35 000 и 50 000 руб. (разрывы 1 рода). Средние затраты $AC = T(x)$: вертикальных асимптот нет, горизонтальная $y = 3000$. Вывод: партию выгодно доводить до границы тарифной зоны, но после 100 т тариф больше не снижается.

Задачи семинара 5

Тип разрыва; если устранимый — доопределите.

1) $y = \frac{x - 1}{x(x + 1)(x^2 - 4)}$

Нули знаменателя: $0, -1, 2, -2$. Числитель в них не равен нулю, значит пределы бесконечны: везде разрывы 2 рода (и вертикальные асимптоты).

2) $y = \frac{1 - \cos x}{x^2}$

$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, предел $\frac12$ с обеих сторон: устранимый разрыв, $y(0) := \frac12$.

3) $y = \frac{\sqrt{1 + 4x} - 1}{x}$

$\sqrt{1 + 4x} - 1 \sim 2x$, предел $2$: устранимый, $y(0) := 2$.

4) $y = \frac{\ln(4 - x)}{3 - x}$

$D$: $x < 4$, $x \ne 3$. В $x = 3$: $\ln(4 - x) = \ln(1 + (3 - x)) \sim 3 - x$, предел $1$ — устранимый, $y(3) := 1$. При $x \to 4 - 0$ числитель $\to -\infty$, знаменатель $\to -1$: $y \to +\infty$, прямая $x = 4$ — вертикальная асимптота.

Найдите все асимптоты.

1) $\frac{4x - 5}{x + 1}$; 2) $\frac{4 - x}{x + 3}$

1) $x = -1$, $y = 4$. 2) $x = -3$, $y = -1$.

3) $\frac{x^2 + 4x - 3}{x - 2}$; 4) $\frac{2x^2 - 3}{x}$

3) $x^2 + 4x - 3 = (x - 2)(x + 6) + 9$: $x = 2$ и $y = x + 6$. 4) $2x - \frac3x$: $x = 0$ и $y = 2x$.

5) $\sqrt[3]{-8x^3 + 24x^2}$; 6) $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 5}$

Вертикальных нет. Используем $\sqrt[3]{a^3 + t} - a \approx \frac{t}{3a^2}$ при $t \ll a^3$. 5) $k = -2$, $b = \frac{24x^2}{3 \cdot 4x^2} = 2$: $y = -2x + 2$. 6) $k = 1$, $b = \frac{-3x^2}{3x^2} = -1$: $y = x - 1$.

7) $\frac{x^3 - 2x}{x^2 - 4}$; 8) $\frac{3 - 2x - x^3}{x^2 + 2x + 1}$

7) Числитель в $\pm 2$ не ноль: $x = 2$, $x = -2$. $x^3 - 2x = x(x^2 - 4) + 2x$: $y = x$. 8) Знаменатель $(x + 1)^2$, числитель в $-1$ равен 6: $x = -1$. $-x^3 - 2x + 3 = (x + 1)^2(2 - x) + (1 - 5x)$: $y = -x + 2$.