Лекция 4. Предел функции и эквивалентности

Конспект лекции 4 (Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026.

Окрестности

• $\varepsilon$-окрестность точки $x_0$: $U_\varepsilon(x_0) = (x_0 - \varepsilon; x_0 + \varepsilon)$, то есть $|x - x_0| < \varepsilon$.
• Проколотая окрестность $\dot U_\varepsilon(x_0)$: $0 < |x - x_0| < \varepsilon$ — без самой точки. Функция может быть не определена в $x_0$ или иметь там другое значение, на предел это не влияет.
• Пересечение двух окрестностей точки — окрестность радиуса $\min(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$.

Предел функции

На языке неравенств (по Коши). $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = b$, если $$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta(\varepsilon) > 0\ \forall x:\ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon.$$

На языке окрестностей. $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in \dot U_\delta(x_0):\ f(x) \in U_\varepsilon(b)$.

Локальная ограниченность. Если у $f$ есть конечный предел в $x_0$, то в некоторой проколотой окрестности $|f(x)| \le M$. Пример: $\frac1x$ около $x_0 = 2$ ограничена, около нуля — нет.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

• $\alpha(x)$ бесконечно малая при $x \to x_0$, если $\lim \alpha(x) = 0$.
• $f(x)$ бесконечно большая, если $\forall M > 0\ \exists \delta > 0:\ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)| > M$.
• Если $f$ бесконечно большая, то $\frac1f$ бесконечно малая; если $\alpha$ бесконечно малая и $\alpha \ne 0$ рядом с $x_0$, то $\frac1\alpha$ бесконечно большая.

Свойства бесконечно малых: 1. Сумма конечного числа — бесконечно малая. (Идея доказательства: берём $|\alpha| < \frac\varepsilon2$, $|\beta| < \frac\varepsilon2$ и $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$.) 2. Бесконечно малая × ограниченная — бесконечно малая. 3. Произведение конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая. 4. $\lim f = A \iff f(x) = A + \alpha(x)$, где $\alpha$ бесконечно малая.

Теоремы о пределах

• Если $f \ge 0$ и $\lim f = C$, то $C \ge 0$.
• Если $v > u$ и пределы существуют, то $\lim v \ge \lim u$ (неравенство может стать нестрогим).
• Возрастающая ограниченная ($v < M$) функция имеет предел, и он $\le M$. Пример: $2 - e^{-x} \to 2$ при $x \to +\infty$.
• Предел суммы, произведения, частного (при ненулевом пределе знаменателя), константа выносится, предел единственный.

Эквивалентные функции

$\alpha \sim \beta$ при $x \to x_0$, если $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$.

При $x \to 0$:

$\sin x \sim x$	$\operatorname{tg} x \sim x$	$\arcsin x \sim x$
$\operatorname{arctg} x \sim x$	$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$	$\ln(1 + x) \sim x$
$e^x - 1 \sim x$	$(1 + x)^p - 1 \sim px$

Теорема о замене. В пределе отношения (и произведения) бесконечно малые можно заменять на эквивалентные. В сумме и разности — нельзя.

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{\ln(1 + x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$.

Подробные примеры — в материале «Пределы: 8 задач с разбором».