Лекция 3. Последовательности и пределы

Конспект лекции 3 (Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026. Решения примеров — наши.

Последовательность

Числовая последовательность — функция на $\mathbb N$: $\{a_n\} = \{a_1, a_2, a_3, \dots\}$. Задаётся формулой общего члена ($a_n = \frac{n}{n + 1}$) или рекуррентно ($a_{n+1} = a_n + 5$, $a_1 = 7$).

• Возрастающая: $a_{n+1} > a_n$ для всех $n$; неубывающая: $a_{n+1} \ge a_n$. Аналогично убывающая и невозрастающая.
• Ограниченная: $\exists M > 0\ \forall n:\ |a_n| \le M$.

Прогрессии и проценты

	Арифметическая	Геометрическая
Определение	$a_{n+1} = a_n + d$	$b_{n+1} = b_n q$, $q \ne 0$
$n$-й член	$a_n = a_1 + d(n - 1)$	$b_n = b_1 q^{n-1}$
Сумма $n$ членов	$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\, n$	$S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$ ($q \ne 1$)

При $|q| < 1$ прогрессия бесконечно убывающая: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

$P$ — вложено, $r$ — ставка за период (в долях), $n$ — число периодов: - простой процент (проценты не капитализируются): $F_n = P(1 + rn)$ — арифметическая прогрессия; - сложный процент (проценты добавляются к вкладу): $F_n = P(1 + r)^n$ — геометрическая.

Предел последовательности

На языке неравенств. $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$, если $$\forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb N\ \forall n > N:\ |a_n - A| < \varepsilon.$$

На языке окрестностей. $\forall U(A)\ \exists N\ \forall n > N:\ a_n \in U(A)$. Окрестность — интервал $(A - b; A + c)$, $\varepsilon$-окрестность — $(A - \varepsilon; A + \varepsilon)$.

Есть предел — последовательность сходящаяся, нет — расходящаяся.

• Бесконечно малая: $\lim a_n = 0$.
• Бесконечно большая: $\forall M > 0\ \exists N\ \forall n > N:\ |a_n| > M$. Пишут $\lim a_n = \infty$, хотя предела (числа) у неё нет.

Примеры: $a_n = (-1)^n$ ограничена, но расходится; $a_n = 2^{-n}$ — бесконечно малая; $a_n = 2^n$ — бесконечно большая.

Число $e$: $\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac1n\right)^n = e \approx 2{,}718$ — второй замечательный предел. $\ln x = \log_e x$.

Теоремы

1. Предел единственный.
2. $\lim a_n = A \iff a_n = A + b_n$, где $b_n$ — бесконечно малая.
3. Сходящаяся последовательность ограничена (обратное неверно).
4. Бесконечно малая × ограниченная = бесконечно малая; сумма бесконечно малых — бесконечно малая.
5. Пределы суммы, произведения и частного (если предел знаменателя $\ne 0$) равны сумме, произведению и частному пределов.
6. Если $a_n$ бесконечно большая, то $\frac1{a_n}$ бесконечно малая, и наоборот (при $a_n \ne 0$).
7. Вейерштрасс: монотонная ограниченная последовательность сходится.

Шкала роста при $n \to \infty$: $\ln n \ll n^k \ll a^n\ (a > 1) \ll n! \ll n^n$.

Методы и примеры с лекции

Подстановка: $\lim \frac{-5}{n^2} = 0$; $\lim \frac{3n + 5}{n + 1} = 3$.

Главное слагаемое $[\infty/\infty]$ — выносим старшую степень:

$\lim \frac{100n - 3n^2}{5n^2 - 12}$, $\lim \frac{2n^3 + n}{n^2 - 4}$, $\lim \frac{4n + 1}{n^2 - 3}$

$-\frac35$ (степени равны — отношение коэффициентов); $\infty$ (числитель старше); $0$ (знаменатель старше).

Доминирующая показательная функция:

$\lim \frac{7^n - 3^{n+2} + 5^n}{7^{n-2} + 3^{n-3}}$

Делим на $7^n$: $\frac{1 - 9(3/7)^n + (5/7)^n}{1/49 + (3/7)^n/27} \to \frac{1}{1/49} = 49$.

Сопряжённое $[\infty - \infty]$:

$\lim\left(\sqrt{n^2 + 5n} - n\right)$

$\frac{n^2 + 5n - n^2}{\sqrt{n^2 + 5n} + n} = \frac{5n}{n\left(\sqrt{1 + 5/n} + 1\right)} \to \frac52$.

Второй замечательный $[1^\infty]$:

$\lim\left(1 + \frac3n\right)^{2n}$, $\lim\left(\frac{n + 1}{n - 1}\right)^n$

$\left[\left(1 + \frac3n\right)^{n/3}\right]^6 \to e^6$. $\frac{n + 1}{n - 1} = 1 + \frac{2}{n - 1}$, показатель $n = \frac{n - 1}{2}\cdot\frac{2n}{n - 1}$, отсюда $e^{2}$.