Математика для менеджеров, лекции и презентации
Лекция 2. Функции одной переменной
Область определения и значений, монотонность, преобразования графиков, пример с издержками и прибылью.
Конспект лекции 2 (Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026.
Функция
Функция $f: X \to Y$ — правило, по которому каждому $x \in X$ соответствует ровно один $y \in Y$.
- Аргумент $x$ — независимая переменная, значение $y = f(x)$ — зависимая.
- Область определения $D(f)$ — все $x$, при которых функция определена.
- Область значений $E(f)$ — все значения, которые функция принимает на $D(f)$.
Способы задания: формулой, таблицей, графиком, словами.
Пример. $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$: $D = [-5; 5]$, $E = [0; 5]$.
Основные элементарные функции
Линейная $kx + b$, степенная $x^n$ ($n$ может быть дробным), показательная $a^x$, логарифмическая $\log_a x$, тригонометрические.
Что исследуем
- Нули — где $f(x) = 0$ (пересечение с осью $Ox$).
- Знакопостоянство — интервалы, где $f > 0$ или $f < 0$.
- Монотонность: строго возрастает, если $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$; строго убывает, если $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) < f(x_1)$.
Две оговорки с лекции: 1. Точки экстремума входят в промежутки монотонности: $y = x^2$ возрастает на $[0; +\infty)$. 2. Промежутки нельзя объединять бездумно: $y = \frac1x$ убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$ по отдельности, но не на их объединении.
Преобразования графиков
| Формула | Что происходит с графиком $y = f(x)$ |
|---|---|
| $f(x) + A$ | сдвиг вверх ($A > 0$) или вниз |
| $f(x - A)$ | сдвиг вправо ($A > 0$) или влево |
| $-f(x)$ | отражение относительно $Ox$ |
| $f(-x)$ | отражение относительно $Oy$ |
| $k f(x)$, $k > 0$ | растяжение от $Ox$ при $k > 1$, сжатие при $k < 1$ |
| $f(kx)$, $k > 0$ | сжатие к $Oy$ при $k > 1$, растяжение при $k < 1$ |
| $\lvert f(x) \rvert$ | часть под осью $Ox$ отражается вверх |
| $f(\lvert x \rvert)$ | правая половина отражается налево |
Экономический пример с лекции
Издержки $TC(Q) = Q^2 + 2Q + 12$ (тыс. руб.), $Q \ge 0$, цена 10, выручка $TR = 10Q$.
- Издержки. $D(TC) = [0; +\infty)$ по смыслу. Вершина параболы в $Q = -1$, вне области, поэтому на $Q \ge 0$ функция возрастает. $E(TC) = [12; +\infty)$; нулей нет ($D = -44$). 12 — постоянные издержки.
- Прибыль. $\Pi(Q) = TR - TC = -Q^2 + 8Q - 12$. Безубыточность: $\Pi = 0$ при $Q = 2$ и $Q = 6$. Максимум в вершине: $Q = 4$, $\Pi(4) = 4$.
- Сценарии. Замена $Q \to 2Q$ — сжатие вдоль $OQ$: $TC_1 = 4Q^2 + 4Q + 12$, затраты растут быстрее. Рост постоянных издержек на 2 — сдвиг вверх: $TC_2 = Q^2 + 2Q + 14$.
Задачи
1. Найдите $D(f)$: а) $f = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$; б) $f = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$; в) $f = \ln\frac{2x + 1}{x}$.
Решение
а) $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 > 0$ всегда: $D = \mathbb R$. б) $x + 1 \ge 0$, $x \ne 0$: $D = [-1; 0) \cup (0; +\infty)$. в) $\frac{2x + 1}{x} > 0$: методом интервалов $D = (-\infty; -\tfrac12) \cup (0; +\infty)$.
2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства $f(x) = x(x^2 + 7x + 10)$.
Решение
$f = x(x + 2)(x + 5)$, нули $-5, -2, 0$. Знаки справа налево: $+, -, +, -$. $f > 0$ на $(-5; -2) \cup (0; +\infty)$, $f < 0$ на $(-\infty; -5) \cup (-2; 0)$.