Демовариант контрольной №1

Неофициальный вариант для подготовки к контрольной №1 (28 октября). Контрольная — 40 баллов из 200 по БРС. Темы: пределы, непрерывность, производная и исследование функции. Состав настоящего варианта уточняйте у семинариста.

1. (5 баллов) Дайте определение предела функции на языке окрестностей. Приведите пример бесконечно большой функции при $x \to 0$.

2. (5 баллов) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2 + 5n} - \sqrt{n^2 - n}\right)$

3. (5 баллов) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(e^{3x} - 1)\sin 2x}{x\ln(1 + 4x)}$

4. (5 баллов) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 2}\right)^{x^2}$

5. (5 баллов) При каком $a$ функция $f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2,\\ a, & x = 2\end{cases}$ непрерывна?

6. (5 баллов) Найдите производную $y = x^2\ln(3x) + e^{-x}$.

7. (5 баллов) Напишите уравнение касательной к графику $y = \sqrt x$ в точке $x_0 = 4$.

8. (5 баллов) Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции $f(x) = x e^{-x}$.

Ответы и решения

1. $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A$, если для любой окрестности $U(A)$ существует проколотая окрестность $\mathring U(x_0)$, что $f\big(\mathring U(x_0)\big) \subset U(A)$. Пример: $f(x) = \dfrac1{x^2}$.

2. Сопряжённое: $\dfrac{6n}{\sqrt{n^2+5n} + \sqrt{n^2-n}} \to \dfrac62 = 3$.

3. Эквивалентности: $\dfrac{3x\cdot 2x}{x\cdot 4x} = \dfrac32$.

4. $1^\infty$: $u - 1 = \dfrac{3}{x^2 - 2}$, $v(u-1) = \dfrac{3x^2}{x^2 - 2} \to 3$. Ответ $e^3$.

5. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 4$, значит $a = 4$. При другом $a$ — устранимый разрыв.

6. $y' = 2x\ln(3x) + x^2\cdot\dfrac{3}{3x} - e^{-x} = 2x\ln(3x) + x - e^{-x}$.

7. $f(4) = 2$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$, $f'(4) = \dfrac14$. Касательная: $y = 2 + \dfrac14(x - 4) = \dfrac x4 + 1$.

8. $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$. Возрастает при $x < 1$, убывает при $x > 1$; максимум $f(1) = \dfrac1e$.