Лекция 1. Множества, логика, метод интервалов

Конспект лекции 1 (1 поток, Ледовских А. А.) по материалам курса на ON2026. Задачи в конце — с лекции, решения наши.

Множества

Множество — совокупность объектов, объединённых общим признаком; объекты — его элементы ($x \in A$). Мощность — число элементов.

Числовые множества: $\mathbb N$ (натуральные: штат, штуки) $\subset \mathbb Z$ (целые: сальдо) $\subset \mathbb Q$ (рациональные: доли, курсы) $\subset \mathbb R$ (действительные: цены, издержки).

Операция	Что даёт	Пример из лекции
$A \cup B$	все элементы обоих множеств	все клиенты за два месяца
$A \cap B$	только общие элементы	покупали и в январе, и в феврале
$A \setminus B$	элементы $A$, которых нет в $B$	товары склада А, которых нет на Б
$\overline A$	всё из универсального множества вне $A$	все товары, кроме акционных

Для двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Системы и совокупности

• Система (фигурная скобка) — условия должны выполняться одновременно: логическое «И», пересечение множеств решений.
• Совокупность (квадратная скобка) — достаточно хотя бы одного условия: «ИЛИ», объединение множеств решений.

Пример: $x^2 = 9 \iff \left[\begin{aligned} x &= 3 \\ x &= -3 \end{aligned}\right.$

Метод интервалов

1. Перенести всё влево, справа 0.
2. Найти нули числителя и знаменателя.
3. Отметить их на оси — она разобьётся на интервалы.
4. Определить знак на каждом интервале (подстановкой).
5. Выбрать интервалы с нужным знаком.

Одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращать нельзя — потеряете выколотые точки.

Логика высказываний

Высказывание — утверждение, которое либо истинно (1), либо ложно (0).

$A$	$B$	$\neg A$	$A \wedge B$	$A \vee B$	$A \to B$	$A \leftrightarrow B$
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Импликация ложна только в одном случае: условие истинно, а следствие ложно.

Следствие $A \Rightarrow B$: $A$ — достаточное условие для $B$, $B$ — необходимое для $A$. Для множеств это $A \subset B$. Пример: из $x = 5$ следует $x^2 = 25$, обратное неверно.

Равносильность $A \Leftrightarrow B$: необходимое и достаточное условие, критерий.

Кванторы

• $\forall$ — «для любого», $\exists$ — «существует».
• Отрицание: квантор меняется на противоположный, утверждение — на отрицание: $\neg(\forall x\ P(x)) \equiv \exists x\ \neg P(x)$, $\quad \neg(\exists x\ P(x)) \equiv \forall x\ \neg P(x)$.

Отрицание «Все студенты сдали» — «Хотя бы один студент не сдал», а не «Все не сдали».

Как доказывать

Вопрос	Ответ «да»	Ответ «нет»
«Верно ли, что…»	общее доказательство для всех случаев	один контрпример
«Может ли быть, что…»	один пример	доказательство невозможности

Задачи с лекции

1. Капучино заказали 5 человек, круассан — 3, оба — 1. Сколько всего посетителей (если каждый что-то заказал из этого)?

Решение

$|A \cup B| = 5 + 3 - 1 = 7$. Человек, заказавший только чай, множеству $A$ не принадлежит.

2. Грибников 18, рыбаков 21, и то и другое любят 10. Сколько жителей имеют ровно одно увлечение?

Решение

Только грибы: $18 - 10 = 8$, только рыбалка: $21 - 10 = 11$. Итого $19$.

3. $B$ — двузначные числа, кратные 10, $D$ — кратные 15. Найдите $B \cup D$, $B \cap D$, $D \setminus B$.

Решение

$B = \{10, 20, \dots, 90\}$, $D = \{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$. $B \cap D = \{30, 60, 90\}$ (кратные 30), $B \cup D = \{10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90\}$, $D \setminus B = \{15, 45, 75\}$.

4. Решите систему $\begin{cases} x + y = 1 \\ 5x - y = 1 \end{cases}$

Решение

Сложим: $6x = 2$, $x = \tfrac13$, $y = \tfrac23$.

5. Прибыль $P(x) = -x^2 + 6x - 5$ (млн руб.), $x$ — цена (тыс. руб.). При каких ценах прибыль положительна?

Решение

$-x^2 + 6x - 5 > 0 \iff x^2 - 6x + 5 < 0 \iff (x - 1)(x - 5) < 0 \iff x \in (1; 5)$.

6. Решите систему $\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \le 0 \\ 3x^2 - 3x \ge 0 \\ x^2 - 2x + 3 \ge 0 \end{cases}$

Решение

1) $(x + 3)(x - 1) \le 0 \Rightarrow A = [-3; 1]$. 2) $3x(x - 1) \ge 0 \Rightarrow B = (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$. 3) Дискриминант $4 - 12 < 0$, выражение всегда положительно: $C = \mathbb R$. Ответ: $A \cap B \cap C = [-3; 0] \cup \{1\}$.

7. «Если сотрудник сдаст отчёт вовремя, он получит премию». Сдал вовремя, но премии нет — обещание нарушено? Опоздал, но премию получил — нарушено?

Решение

Первый случай — $A = 1$, $B = 0$: импликация ложна, обещание нарушено. Второй — $A = 0$, $B = 1$: импликация истинна, формально обещание не нарушено.

8. Запишите в кванторах и опровергните: «В каждом нашем магазине есть хотя бы один товар дешевле 50 рублей».

Решение

$\forall m\ \exists t \in m:\ p(t) < 50$. Отрицание: $\exists m\ \forall t \in m:\ p(t) \ge 50$ — есть магазин, где все товары стоят не меньше 50 рублей.