Лекция 3. Потребительский выбор

Конспект лекции 3 (Теняков И. М.) и начала лекции 4 (Улупова В. Л.) по материалам курса на ON2026.

Предпосылки теории потребительского выбора

Свобода выбора, суверенитет потребителя, совершенная информация, рациональность.

Количественный (кардиналистский) подход

Джевонс, Менгер, Вальрас: полезность измеряется в ютилях.

• Общая полезность $TU = f(Q)$.
• Средняя $AU = \frac{TU}{Q}$.
• Предельная $MU = \frac{\Delta TU}{\Delta Q} = TU'(Q)$ — прирост от ещё одной единицы.

Сливы с лекции: $TU$ = 0, 150, 250, 330, 400, 440, 460, 460, 430 при $Q$ = 0…8. Тогда $MU$ = 150, 100, 80, 70, 40, 20, 0, −30. Максимум $TU$ там, где $MU = 0$. Аналитически: $TU = 10Q - Q^2$, $MU = 10 - 2Q$, максимум при $Q = 5$.

Законы Госсена: 1. Предельная полезность каждой следующей единицы убывает. 2. Максимум полезности — когда последний рубль на каждый товар даёт одинаковую полезность: $\frac{MU_1}{P_1} = \frac{MU_2}{P_2} = \lambda$ ($\lambda$ — предельная полезность денег).

Минус подхода: нет объективной единицы, нельзя сравнивать полезность разных людей. Ответ — порядковая теория.

Порядковый (ординалистский) подход

Эджуорт, Парето, Хикс: потребитель только упорядочивает наборы.

Аксиомы: полная упорядоченность (любые два набора сравнимы), транзитивность, рефлексивность, ненасыщение (больше — лучше).

Кривая безразличия — наборы с одинаковой полезностью; их семейство — карта кривых безразличия. Для стандартных предпочтений (Кобб–Дуглас $U = X^\alpha Y^\beta$) кривые: - можно провести через любую точку; - имеют отрицательный наклон; - выше — лучше; - не пересекаются; - выпуклы к началу координат.

Предельная норма замещения — сколько $Y$ потребитель отдаст за единицу $X$, оставаясь на той же кривой: $$MRS_{XY} = -\frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{MU_X}{MU_Y}.$$ Вдоль кривой сверху вниз $MRS$ убывает.

Предпочтения	Функция	Кривые
Стандартные	$X^\alpha Y^\beta$	выпуклые
Субституты	$\alpha X + \beta Y$	прямые, $MRS = \text{const}$
Комплементы	$\min$ (Леонтьев)	углы, товары в постоянной пропорции
Нейтральное благо	рост его не меняет $U$	вертикальные или горизонтальные линии

Бюджетное ограничение

$$P_X X + P_Y Y = M \iff Y = \frac{M}{P_Y} - \frac{P_X}{P_Y} X.$$

Точки пересечения с осями $\frac{M}{P_X}$ и $\frac{M}{P_Y}$, наклон $-\frac{P_X}{P_Y}$. Рост дохода — параллельный сдвиг вправо; изменение $P_X$ — поворот вокруг точки на оси $Y$.

Оптимум

Точка касания бюджетной линии и самой высокой доступной кривой безразличия: $$MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}.$$

Формально — задача Лагранжа: $L = U(X, Y) - \lambda(P_X X + P_Y Y - M)$, откуда $\lambda = \frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y}$.

Для $U = X^\alpha Y^\beta$: $$X^* = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\cdot\frac{M}{P_X}, \qquad Y^* = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\cdot\frac{M}{P_Y}.$$

Пример с лекции: $U = X^{0{,}4}Y^{0{,}6}$, тогда $\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{0{,}4Y}{0{,}6X} = \frac{2Y}{3X}$.

Возможны краевые оптимумы (весь доход на один товар) — у субститутов и при особых предпочтениях. У комплементов оптимум в углу кривой.

От выбора к спросу

Меняя $P_X$ при неизменных доходе и вкусах, получаем разные оптимумы. Их связь с ценой — функция индивидуального спроса $X = f(P_X, P_Y, M)$. Теория выбора — основа теории спроса.

Задачи

1. $U = XY$, $M = 120$, $P_X = 2$, $P_Y = 4$. Найдите оптимум.

$\frac{Y}{X} = \frac24 \Rightarrow X = 2Y$; $2 \cdot 2Y + 4Y = 120 \Rightarrow Y = 15$, $X = 30$. Проверка формулой долей: $X = \frac12 \cdot \frac{120}{2} = 30$.

2. $U = X^{0{,}4}Y^{0{,}6}$, $M = 100$, $P_X = 4$, $P_Y = 3$.

$X = 0{,}4 \cdot \frac{100}{4} = 10$, $Y = 0{,}6 \cdot \frac{100}{3} = 20$.

3. $U = X + 2Y$, $M = 60$, $P_X = 1$, $P_Y = 4$.

$\frac{MU_X}{P_X} = 1 > \frac{MU_Y}{P_Y} = \frac24$ — весь доход на $X$: $X = 60$, $Y = 0$ (краевой оптимум).